Temat: Równania z parametrem




Pobierz 30.03 Kb.
NazwaTemat: Równania z parametrem
Data konwersji15.12.2012
Rozmiar30.03 Kb.
TypDokumentacja


I Liceum Ogólnokształcące
im. Powstańców Wielkopolskich w Koźminie Wlkp.


Zadania powtórkowe z matematyki dla klas trzecich

Temat:

Równania z parametrem

Nauczyciel:

mgr inż. Łukasz Zielonka

1.Wprowadzenie teoretyczne

1.1.Parametry równania


Parametrami nazywamy litery, które w zadaniu oznaczają liczby dane. Rozwiązując równanie z parametrem należy określić liczbę rozwiązań równania w zależności od wartości parametru.

Przykład 1. Rozwiążmy równanie postaci , gdzie .

Rozwiązanie

Wyciągając w powyższym przykładzie x przed nawias otrzymamy równanie . Jest to równanie liniowe, a jak już wiemy, równanie takie może posiadać jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań (równanie tożsamościowe) lub nie posiada rozwiązania (równanie sprzeczne). Zauważmy, że liczba rozwiązań tego równania będzie zależała od wartości parametru m. Aby to pokazać rozważmy następujące przypadki:

  1. . Stąd mamy, że . Wówczas nasze równanie przyjmie postać: , czyli dostajemy sprzeczność: . Zatem dla nasze równanie nie posiada rozwiązania.

  2. , czyli . Wtedy możemy nasze równanie podzielić obustronnie przez . A zatem:





Zatem dla równanie posiada jedno rozwiązanie .

Przykład 2. Rozwiąż równanie postaci , gdzie . Napisz wzór funkcji opisującej zależność liczby rozwiązań danego równania od parametru m. Narysuj wykres funkcji .

Rozwiązanie

Dla tego równania musimy rozważyć następujące przypadki:

  1. . Wtedy mamy:







  1. . Wtedy mamy:







    .

  2. . Czyli Wówczas musimy rozwiązać równanie kwadratowe zupełne , w którym:



    Rozwiązanie takiego równania zależy od wyróżnika trójmianu kwadratowego .

  • równanie posiada dwa rozwiązania: lub .

  • równanie posiada jedno podwójne rozwiązanie:

  • równanie nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych.

    Zatem, wracając do naszego równania możemy wyznaczyć wyróżnik .

    .

    Stąd



    .

    Zatem , czyli dla każdego .

    Oznacz to, że dla równanie posiada dwa rozwiązania:

    lub

    Reasumując, rozważane równanie dla posiada jedno rozwiązanie , natomiast dla  równanie posiada dwa rozwiązania, przy czym gdy to rozwiązaniem równania jest . Dla rozwiązaniem równania są:

    lub .

    Na podstawie tych rozważań określmy funkcję :



    Wykres funkcji będzie wyglądał następująco:



Przykład 3. Dany jest układ równań liniowych z parametrem :



  1. Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań ze względu na wartość parametru m.

  2. Narysuj wykres funkcji , gdzie para jest rozwiązaniem tego układu.


Rozwiązanie

Przekształćmy dany układ równań





Ponieważ wykresami obu funkcji są proste, to liczba rozwiązań układu równań zależy od współczynników liniowych tychże funkcji, tzn. jeżeli zarówno współczynniki liniowe jak i wyrazy wolne obu funkcji będą równe to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ równań nieoznaczony), natomiast, gdy tylko współczynniki kierunkowe będą równe, zaś wyrazy wolne różne, to wtedy mamy do czynienia z układem równań sprzecznym (brak rozwiązań). Dla współczynników kierunkowych różnych od siebie układ równań ma jedno rozwiązanie (w interpretacji geometrycznej jest to punkt przecięcia się prostych).

,







Zatem dla układ równań jest sprzeczny (brak rozwiązań).



Dla układ równań jest również sprzeczny.







Dla układ równań posiada jedno rozwiązanie.




Dla układ równań posiada jedno rozwiązanie.

  1. Zadnie do samodzielnego rozwiązania

2.Zadania do rozwiązania


              1. Rozwiąż równania z niewiadomą i zbadaj, dla jakich wartości parametrów równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, nie ma rozwiązania lub ma nieskończenie wiele rozwiązań.

  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. .

              1. Dla jakich wartości parametru dane równanie nie ma pierwiastków:

  1. ,



              1. Dla jakich wartości parametru m każdy z układów równań:









jest układem oznaczonym, nieoznaczonym, sprzecznym?

              1. Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu jest:

  1. parą liczb dodatnich,

  2. parą liczb ujemnych,

  3. parą liczb o różnych znakach.

              1. Dla jakich wartości parametrów a i b proste o równaniach:

  1. przecinają się w punkcie

  2. są równoległe.







Dodaj dokument na swoim blogu lub stronie

Powiązany:

Temat: Równania z parametrem iconTemat projektu: Rozwiązywanie zadań z zakresu funkcji kwadratowej z parametrem w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Cele projektu

Temat: Równania z parametrem iconTemat projektu: Rozwiązywanie zadań z zakresu funkcji kwadratowej z parametrem w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Cele projektu

Temat: Równania z parametrem iconTemat projektu: Rozwiązywanie zadań z zakresu funkcji kwadratowej z parametrem w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Cele projektu

Temat: Równania z parametrem iconW krajach o wysokim poziomie rozwoju jakość jest głównym parametrem osiągania sukcesu w sferze gospodarczej

Temat: Równania z parametrem iconRÓwnania róŻniczkowe I. Równania różniczkowe rzędu I

Temat: Równania z parametrem iconRÓwnania

Temat: Równania z parametrem iconRównania Maxwella

Temat: Równania z parametrem iconRównania I nierówności

Temat: Równania z parametrem iconRozdział 3 RÓwnania wielomianowe

Temat: Równania z parametrem iconRÓwnania reakcji chemicznych

Umieść przycisk na swojej stronie:
Rozprawki


Baza danych jest chroniona prawami autorskimi ©pldocs.org 2014
stosuje się do zarządzania
Rozprawki
Dom