Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych




Pobierz 0.5 Mb.
NazwaEkonometria I programowanie procesów ekonomicznych
strona2/4
Data konwersji15.12.2012
Rozmiar0.5 Mb.
TypDokumentacja
1   2   3   4

SPEARMANA – współczynnik korelacji rang


Służy do określenia siły korelacji dwóch cech:

  • gdy – cechy są mierzalne, a badana zbiorowość nieliczna;

  • gdy – cechy mają charakter jakościowy i istnieje możliwość ich uporządkowania.

Zakładamy, że badamy n – jednostek (obiektów) opisanych za pomocą dwóch cech.

Badane obiekty można uporządkować np. malejąco ze względu na wartości każdej cechy oddzielnie.

Jednostkom w każdym z uporządkowań przypisujemy liczbę odpowiadającą ich miejscu w uporządkowaniu.

Liczbę odpowiadającą ich miejscu w uporządkowaniu nazywamy rangą, a procedurę nadawania rang – rangowaniem.

Współczynnik korelacji rang wyznacza się ze wzoru:




Gdzie:

di – różnica między rangami odpowiadających sobie wartości cechy xi oraz yi; i = 1, 2, …, n

Współczynnik korelacji rang przyjmuje wartości z przedziału <- 1, 1>

Im współczynnik korelacji rang jest bliższy 1 (lub –1), tym silniejsza jest badana zależność;


Przykład:

W tabeli poniżej przedstawiono 8 województw o liczbie ludności Y (mln osób) i odpowiadającej tym województwom powierzchni X (tys. km2). Zbadać, czy istnieje zależność między liczbą ludności, a powierzchnią województw?


Województwo

Y (mln)

X(tys. km2)

Ranga X

Ranga Y

di

di2




dolnośląskie

2,98

19,95

3

3

0

0

kujawsko-pom

2,10

17,97

6

5

1

1

lubelskie

2,23

25,11

5

2

3

9

lubuskie

1,02

13,98

8

7

1

1

łódzkie

2,65

18,22

4

4

0

0

małopolskie

3,22

15,14

2

6

-4

16

mazowieckie

5,07

35,60

1

1

0

0

opolskie

1,09

09,41

7

8

-1

1

Razem
















28


Współczynnik korelacji rang:



Interpretacja:

Otrzymany wynik wskazuje, że w badanym zbiorze obiektów zachodzi korelacja dodatnia między liczbą ludności a powierzchnią; województwa o dużej liczbie ludności mają relatywnie większą powierzchnię.


Średnia ranga

(3+3)/2 = 3

(6+5)/2 = 5,5

(5+2)/2 = 3,5

(8+7)/2 = 7,5

Itd.


Liniowa funkcja regresji


Po ustaleniu faktu, że między cechami X i Y istnieje zależność korelacyjna, można oszacować parametry liniowej funkcji regresji.

Funkcję regresji zmiennej zależnej (objaśnianej) Y przy danych wartościach zmiennej niezależnej (objaśniającej) X wyraża wzór:



*


Można również wyznaczyć funkcję regresji zmiennej X względem Y. Taką funkcję regresji wyznacza wzór:




**


Parametry powyższych funkcji regresji – ay, by, ax, bx.


Parametry funkcji regresji wyznaczamy metodą najmniejszych kwadratów.


Chcemy tak wyznaczyć parametry funkcji regresji, aby wyrażenie postaci:




***


osiągnęło wartość minimalną.


Wyrażenie (***) to suma kwadratów odchyleń wartości empirycznych yi od wartości teoretycznych , wyznaczanych na podstawie równania (*).


Po wyznaczeniu miejsc zerowych pierwszych pochodnych cząstkowych po parametrach funkcji regresji (ay, by) lub (ax, bx) otrzymujemy wzory na ay, bydla funkcji regresji








Oraz wzory na ax, bxdla funkcji regresji







Interpretacja:

Wartość współczynnika (parametru funkcji regresji) ay lub ax określa, o ile jednostek przeciętnie (średnio) wzrośnie lub zmaleje (gdy ay < 0, ax < 0) wartość zmiennej zależnej, gdy wartość zmiennej niezależnej wzrośnie o jednostkę.


Do oceny dopasowania prostej regresji do punktów empirycznych wykorzystuje się tzw. reszty, które stanowią różnicę pomiędzy wartościami empirycznymi, a teoretycznymi funkcji regresji.


Dla funkcji regresji Y względem X, reszty wyrażone są wzorem:




i = 1, 2, …, n


yi – wartość empiryczna

– wartość teoretyczna, wyznaczona wg wzoru


Dla funkcji regresji X względem Y, reszty wyrażone są wzorem:




i = 1, 2, …, n


xi – wartość empiryczna

– wartość teoretyczna, wyznaczona wg wzoru


Wariancja składnika resztowego:


Dla funkcji regresji Y względem X:







Dla funkcji regresji X względem Y:







k – liczba szacowanych parametrów funkcji regresji – zawsze k = 2


Odchylenie standardowe reszt [s(zi), s (ui)] zwane średnim błędem szacunku określa, o ile średnio wartości empiryczne odchylają się od wartości teoretycznych.

Wraz ze wzrostem odchylenia standardowego reszt maleje „dobroć” oszacowania funkcji regresji.

Do oceny dopasowania funkcji regresji stosowana jest wielkość: współczynnik zbieżności ?2 wyraża się wzorem:




i przyjmuje wartości z przedziału <-1, 1>, przy czym im mniejszą wartość przyjmuje współczynnik zbieżności, tym lepsze jest dopasowanie funkcji regresji do punktów empirycznych.


Dla funkcji regresji X od Y, współczynnik zbieżności ma postać:




- wartości średnie (średnie arytmetyczne)


i przyjmuje taką samą interpretację jak ?yx2.


Ocena dopasowania na podstawie współczynnika determinacji, oznaczonego symbolem R2.







W przypadku zależności liniowej, współczynnik determinacji równy jest współczynnikowi korelacji tj.





co oznacza, że im wartość ryx2 jest bliższa jedności, tym „dobroć” dopasowania funkcji regresji do danych empirycznych jest lepsza.


Przykład

Dane o wielkości zużycia pewnego surowca potrzebnego do produkcji pewnego wyrobu oraz wielkości produkcji tego wyrobu przedstawione są w tabeli poniżej.

Wyznaczyć funkcję regresji zużycia surowca, a także jej ocenę dopasowania.


Przypadek A:

Niech X – oznacza zużycie surowca,

Y – oznacza wielkość produkcji,

w takim przypadku wyznaczamy funkcję regresji zmiennej X względem Y:




tj. wyznaczamy: ax i bx.

Tablica danych do przykładu:

L.p.

Zużycie surowca X (xi)

Wielkość produkcji Y (yi)




1

40

90

2

35

85

3

50

110

4

45

125

5

40

120

6

63

150

7

45

140

8

61

160

9

70

200

10

61

190

11

85

220

12

65

210

Wzory:

n = 12







Na podstawie wzorów (o postaci funkcji regresji) uzupełniamy tablicę o odpowiednie kolumny:

























































































































































































































































































































Wykres

210






90


37,475 72,5


Interpretacja:

Współczynnik regresji ax informuje, że jeżeli produkcja (Y) wzrośnie o 1 tonę, to zużycie surowca wzrośnie o 0,293 tony.


Wyznaczenie odchylenia standardowego reszt:







Tabela pomocnicza do obliczenia odchylenia standardowego reszt:


L.p.































,475

,525

,375625













,01

,01

,0201













,335

,665

,42223













,73

,73

,4529













,265

,265

,25023













,055

,945

,12303













,125

,125

,76563













,985

,015

,090225













,705

,295

,087025













,775

,775

,35062













,565

,435

,01923













,635

,635

,29322



















,2501















Współczynnik zbieżności = 0,165 świadczy o dobrym dopasowaniu funkcji regresji do danych empirycznych, gdyż tylko 16,5% informacji o zużyciu surowca nie zostało wyjaśnione przez zmienną opisującą produkcję.


Wyznaczenie parametrów regresji Y względem X: dla równania regresji - mamy:







Wykorzystując wcześniejsze obliczenia (tabela) mamy:





Zatem równanie regresji określające przeciętną wielkość produkcji wyrobu w zależności od zużycia surowca ma postać:













Ze statystycznego punktu widzenia obie linie regresji mają równorzędne znaczenie – praktycznie przydatność równania produkcji jest mniejsza niż równania zużycia surowca.

Współczynnik korelacji rxy jest średnią geometryczną współczynników regresji:





Współczynnik regresji można wyznaczać ze wzorów:




Przedział predykcji – prognoza przedziałowa:

Można oszacować wartość zmiennej Y, gdy zmienna X przyjmuje ustaloną wartość x0




0 A B



przedział prognozy






Gdzie:










n – liczba danych wartości

– liczba z tablic rozkładu t – Studenta dla (n – 2) stopni swobody oraz przyjętego ?;

(?-poziom ufności)

– wartości średnie


Połowa długości przedziału predykcji określa tzw. bezwzględny błąd prognozy.

Błąd prognozy ma minimalną wartość gdy i rośnie wraz z oddalaniem się od

1   2   3   4

Powiązany:

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconEkonometria Programowanie liniowe

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconWydział nauk ekonomicznych I zarządzania podstawowe informacje o przedmiocie ekonometria

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconProjekt prognozowanie procesów ekonomicznych wydział ekonomiczny

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconWydział Nauk Ekonomicznych I Zarządzania Podstawowe informacje o przedmiocie: Programowanie komputerów

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconWydział Nauk Ekonomicznych I Zarządzania Podstawowe informacje o przedmiocie: Programowanie komputerów – podstawy

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconInnych krajów Europy, rozwijanie poczucia jedności w Europie oraz wspomaganie procesów przystosowania się do nowych warunków społecznych I ekonomicznych w perspektywie zjednoczonej Europy. Comenius jest komponentem programu socrates

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconProcesów termodynamicznych stanowiących element rolniczych I leśnych procesów produkcyjnych

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconProgramowanie strukturalne I obiektowe programowanie w pascal’U

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconPodstawy programowanie I programowanie obiektowe

Ekonometria I programowanie procesów ekonomicznych iconSpostrzeganiem nazywa się złożony układ procesów prowadzący do ukształtowania się subiektywnego obrazu rzeczywistości, spostrzeżenia. Podstawą tych procesów są

Umieść przycisk na swojej stronie:
Rozprawki


Baza danych jest chroniona prawami autorskimi ©pldocs.org 2014
stosuje się do zarządzania
Rozprawki
Dom