Wykład Wzór Taylora




Pobierz 35.43 Kb.
NazwaWykład Wzór Taylora
Data konwersji06.01.2013
Rozmiar35.43 Kb.
TypDokumentacja
Wykład

Wzór Taylora

Wzór Taylora stanowi, miedzy innymi, narzędzie do lokalnego przybliżania funkcji wielomianem n-tego stopnia (przy czym stopień ten zależy od możliwego rzędu różniczkowalności funkcji).

Twierdzenie 1 o wzorze Taylora z resztą Lagrange’a

Niech funkcja posiada w pewnym przedziale ciągłe pochodne oraz pochodną przynajmniej w przedziale otwartym .

Wówczas istnieje takie, że dla :



Uwaga 1. Reszta w postaci Lagrange’a jest jedną z możliwych do zastosowania w tym wzorze.

Ponieważ różnica między funkcją f i sumą n wyrazów we wzorze Taylora wynosi , więc oczywiście na to , aby by dla pewnej wartości x rzeczywiście zachodziła równość

potrzeba i wystarcza, aby ta reszta dążyła do zera gdy n dąży do .

Przykład 1

Rozważmy funkcję . Zastosujemy wzór Taylora dla x0=0


Uwaga 2

Wzór Taylora dla przypadku, gdy x0=0 nazywany jest wzorem Maclaurina.

Szeregi potęgowe

Określenie 1.

Szeregi postaci lub (bardziej ogólnie)będziemy nazywać szeregami potęgowymi. Badając zbieżność tych szeregów pytamy o to, dla jakich wartości x szereg jest zbieżny (bezwzględnie lub warunkowo).

Pytanie o zbieżność szeregu można też rozumieć jako pytanie o dziedzinę funkcji zadanej szeregiem .

Definicja 1

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy taką liczbę r>0, że szereg ten jest zbieżny dla zaś rozbieżny dla .

Jeżeli szereg jest zbieżny dla to mówimy, że r = , jeżeli zaś jest on zbieżny tylko dla x=0, to promień zbieżności wynosi r=0

Uwaga 3.








Twierdzenie 2

Dany jest szereg potęgowy . Jeśli to promień zbieżności

Jeżeli , to r = , jeżeli zaś , to r =

Twierdzenie 3

Dany jest szereg potęgowy . Jeśli to promień zbieżności .

Jeżeli , to r= , jeżeli zaś , to r =

Uwaga 4

Na brzegach przedziału zbieżności tj. dla x = r i x = -r należy w każdym przypadku przeprowadzić indywidualnie badanie zbieżności danego szeregu. Po podstawieniu za x wartości r lub –r otrzymujemy szereg liczbowy i możemy stosować wszystkie stosowne dla tego przypadku poznane wcześniej kryteria zbieżności szeregów liczbowych.

Przykład 2

Zbadaj zbieżność szeregu


Przykład 3

Zbadaj zbieżność szeregu


Definicja 2

Funkcję nazywamy funkcją klasy jeżeli f jest n – krotnie różniczkowalna w (a,b), a funkcja jest ciągła.

Uwaga 5

Pochodne niższych rzędów są także, z oczywistych względów, ciągłe.


Jeśli funkcja jest klasy w swojej dziedzinie, to dla dowolnego możemy zapisać szereg Taylora:



Przy czym

Powstają w związku z tym pewne pytania:

Jaki jest promień zbieżności szeregu Taylora?

Czy szereg dla tych argumentów, dla których jest zbieżny, przedstawia funkcję wyjściową, tj. czy zachodzi równość

Okazuje się, że odpowiedź na te pytania nie musi być pozytywna.

Warunki, w których sformułowane powyżej problemy mają „pozytywne” rozwiązania podaje następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4

Jeżeli jest klasy oraz istnieje stała M, taka, że: ,

todla .

Przykład 4

Rozwinąć w szereg Taylora funkcję w otoczeniu punktu x=3

Wyznaczyć promień jego zbieżności.


Przykład 5

Obliczyć z dokładnością do 0,000001 wartość


Rachunek całkowy

Całka nieoznaczona

Definicja 3

Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w danym przedziale, jeśli w tym przedziale zachodzi warunek

F’(x)=f(x)

Przykład 6.



Wówczas

lub też

Zauważmy, że jest prawdziwe następujące twierdzenie:

Twierdzenie 5

Jeśli w pewnym przedziale χ F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to funkcja F(x)+C, gdzie C jest dowolną stałą, jest również funkcją pierwotną f(x). Na odwrót, każda funkcja pierwotna funkcji f(x) w przedziale χ może być przedstawiona w tej postaci.

Na mocy tego wyrażenie F(x)+C gdzie C jest dowolną stałą, jest ogólną postacią funkcji, która ma pochodną równą f(x) lub (różniczkę f(x)dx)

Definicja 4

Wyrażenie F(x)+C gdzie C jest dowolną stałą, zaś funkcja F(x) ma pochodną równą f(x) (czyli różniczkę f(x)dx) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem

.

Zatem możemy zapisać

Tablice całek podstawowych









zatem









Własności całki nieoznaczonej

Poniższe własności są naturalną konsekwencją odpowiednich własności pochodnej

1.

2.


Przykład 7










Podstawowe metody całkowania

1. Całkowanie przez części

Wychodząc od poznanego wcześniej wzoru na pochodną iloczynu funkcji, można wyprowadzić następujący wzór znany jako reguła całkowania przez części:



Przykład 9




Przykład 10




Przykład 11




2.Całkowanie przez podstawienie

Z kolei wychodząc od wzoru na pochodną funkcji złożonej, można wyprowadzić następujący wzór znany jako reguła całkowania przez podstawienie:

, gdzie t = w(x)

przy czym zakładamy, że wszystkie występujące w tym wzorze funkcje są ciągłe w pewnym przedziale

Przykład 12




Przykład 13




Przykład 14




Przykład 15




Szczególne przypadki wzoru na całkowanie przez podstawienie





, gdzie F(x) jest funkcją pierwotna funkcji f(x)

Przykład 16




Opracowanie dr Elżbieta Badach

na podstawie:

Fichtenholz G.M.: Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN Warszawa 1985

Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach PWN Warszawa 2006

Ptak M.: Matematyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Wyd. A R w Krakowie Kraków 2007




Dodaj dokument na swoim blogu lub stronie

Powiązany:

Wykład Wzór Taylora iconWzór Brooka Taylora to wzór sporo wcześniej odkryty przez

Wykład Wzór Taylora iconOrganizacji pracy I przemówienia Le Chateliera dotyczące naukowej organizacji pracy zebrał I wydał w języku polskim Karol Adamiecki w książce pt. „Filozofia systemu Taylora”. Tytuł tej publikacji został wybrany nadzwyczaj trafnie. Le Chatelier daje w niej bowiem nie tylko wykład systemu Taylora, ale

Wykład Wzór Taylora icon"Duchowy sekret Hudsona Taylora" jest ciągle aktualną opowieścią o J. H. Taylorze I zakładaniu przez niego Wewnętrznej Misji Chin. Te zapiski z zadziwiającego

Wykład Wzór Taylora iconWzór wniosku o nadanie statusu Centrum Integracji Społecznej (wzór nieobligatoryjny)

Wykład Wzór Taylora iconZałączniki: Wzór pisma dotyczącego wymiany biletów Cennik usług przewozowych mpk s. A. WzóR

Wykład Wzór Taylora iconZałącznik nr Wzór biznesplanu b iznesplan (WZÓR)

Wykład Wzór Taylora iconWykład forma zajęĆ Wykład wykładowca

Wykład Wzór Taylora iconWykłAD: Historia sztuki nowoczesnej. Wiek XX, (część wykładu kursowego z historii sztuki od paleolitu do współczesności), wykład kursowy dla studentów III roku

Wykład Wzór Taylora iconWykład III 09. 03. 2003 wykład IV 23. 03. 2003 Nadużycie praw podmiotowych

Wykład Wzór Taylora iconO f e r t a wzór

Umieść przycisk na swojej stronie:
Rozprawki


Baza danych jest chroniona prawami autorskimi ©pldocs.org 2014
stosuje się do zarządzania
Rozprawki
Dom