Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów




Pobierz 29.88 Kb.
NazwaVii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów
Data konwersji17.10.2012
Rozmiar29.88 Kb.
TypDokumentacja


VII Wrocławski Konkurs Matematyczny

dla uczniów klas I-III gimnazjów

etap II - PÓŁFINAŁ

17 lutego 2012 r.


Zadania i przykładowe rozwiązania

Zadanie 1

Dwie kasjerki dokonały wypłaty pieniędzmi o nominałach 5 zł, 20 zł i 50 zł. Kasjerka z kasy numer 1 wypłaciła 400 zł za pomocą 20 monet i banknotów a kasjerka z kasy numer 2 wypłaciła 500 zł też za pomocą 20 monet i banknotów. Każda z kasjerek użyła przynajmniej jednej monety i banknotu każdego rodzaju. Jedna z nich pomyliła się. Która kasjerka wypłaciła pieniądze prawidłowo? Na ile różnych sposobów mogła to zrobić?


Zadanie 2

Turysta o godzinie 8.00 wyruszył pieszo na biwak nad jeziorem. Całą trasę szedł ze stałą prędkością. Gdyby w czasie każdej godziny przeszedł o 1 kilometr mniej, to na przejście całej drogi zużyłby o 2 godziny więcej. Gdyby zaś w ciągu każdej godziny pokonywał trasę o 2 kilometry dłuższą, to całą drogę przeszedłby w czasie o 2 godziny krótszym. O której godzinie turysta dotarł na jezioro?

Zadanie 3

Na okręgu o promieniu r opisano romb, którego dłuższa przekątna jest równa 4r. Oblicz pole każdej z czterech figur ograniczonych odpowiednim łukiem okręgu i bokami rombu.

Zadanie 4

Powierzchnia podłogi w pokoju Anny wynosi 36 m2 i ma kształt prostokąta. Uzasadnij, że obwód tej podłogi równy jest co najmniej 24 m.

Zadanie 5

Dany jest trójkąt o bokach 7, 24 i 25. Na najdłuższym boku tego trójkąta zbudowano kwadrat. Oblicz odległość środka kwadratu od najdalszego wierzchołka trójkąta.

Zadanie 6

Udowodnij, że kąt zawarty między cięciwą okręgu a styczną poprowadzoną w jej końcu równy jest kątowi wpisanemu opartemu na łuku zawartym w tym kącie wyznaczonym przez tę cięciwę.



Przykładowe rozwiązania

Zadanie 1


Dwie kasjerki dokonały wypłaty pieniędzmi o nominałach 5 zł, 20 zł i 50 zł. Kasjerka z kasy numer 1 wypłaciła 400 zł za pomocą 20 monet i banknotów a kasjerka z kasy numer 2 wypłaciła 500 zł też za pomocą 20 monet i banknotów. Każda z kasjerek użyła przynajmniej jednej monety i banknotu każdego rodzaju. Jedna z nich pomyliła się. Która kasjerka wypłaciła pieniądze prawidłowo? Na ile różnych sposobów mogła to zrobić?


Rozwiązanie:

x – liczba monet 5 zł

y – liczba banknotów 20 zł

z – liczba banknotów 50 zł

Należy zbadać, czy w zbiorze liczb naturalnych dodatnich poniższy układ równań ma rozwiązanie:



Z układu otrzymujemy równanie 9z + 6y = 10, które nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Zatem kasjerka z kasy nr 2 pomyliła się, gdyż kwoty 500 zł nie mogła wypłacić za pomocą tych monet i banknotów zgodnie z warunkami zadania.

W podobny sposób zbadamy, czy można wypłacić zgodnie z warunkami zadania 400 zł.



Eliminujemy z układu niewiadomą x, otrzymujemy równanie y + 3z = 20. Wyznaczamy wszystkie możliwe rozwiązania w zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Przyjmując kolejno za niewiadomą z liczby: 1. 2, 3, 4, 5 ,6 obliczamy wartości y i na tej podstawie wartości x.



Odpowiedź: Kasjerka z kasy nr 1 wypłaciła pieniądze prawidłowo. 400 zł, mogła wypłacić na 6 sposobów.


Zadanie 2

Turysta o godzinie 8.00 wyruszył pieszo na biwak nad jeziorem. Całą trasę szedł ze stałą prędkością. Gdyby w czasie każdej godziny przeszedł o 1 kilometr mniej, to na przejście całej drogi zużyłby o 2 godziny więcej. Gdyby zaś w ciągu każdej godziny pokonywał trasę o 2 kilometry dłuższą, to całą drogę przeszedłby w czasie o 2 godziny krótszym. O której godzinie turysta dotarł na jezioro?

Rozwiązanie:

x – liczba kilometrów, które turysta przeszedł w ciągu 1 godziny,

y – liczba godzin marszu,

xy – droga, jaką przeszedł turysta

Warunki zadania opisuje układ równań:



Którego rozwiązaniem jest para liczb: x = 4, y = 6

Odpowiedź: Turysta maszerował 6 godzin, czyli nad jezioro dotarł o godzinie 14.00


Zadanie 3

Na okręgu o promieniu r opisano romb, którego dłuższa przekątna jest równa 4r. Oblicz pole każdej z czterech figur ograniczonych odpowiednim łukiem okręgu i bokami rombu.

Rozwiązanie:

Warunki zadania spełniają dwie pary jednakowych figur.

Trójkąt ECS jest połową trójkąta równobocznego. Trójkąt ESD również jest połową trójkąta równobocznego, ponieważ jest podobny do trójkąta ECS (wysokość opuszczona z wierzchołka S kąta prostego dzieli trójkąt SCD na dwa trójkąty podobne do niego).


W trójkącie ECS:

IESI = r, ESC = 600, IECI = .

W trójkącie ESD:

IESI = r, IDEI = , ESD = 300.

f1 – figura większa, f2 – figura mniejsza







Odpowiedź: .


Zadanie 4.

Powierzchnia podłogi w pokoju Anny wynosi 36 m2 i ma kształt prostokąta. Uzasadnij, że obwód tej podłogi równy jest co najmniej 24 m.

Rozwiązanie:

x, y – długości boków prostokąta



Mamy wykazać, że:

Wyznaczając z równania wielkość y i wstawiając do nierówności otrzymujemy:



czyli ,

Ponieważ x>0, gdyż jest to długość podłogi nierówność przyjmuje postać

,

a stąd



czyli

a ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną nierówność jest prawdziwa.

Warto zauważyć,że równość zachodzi tylko dla x = 6, czyli dla kwadratu. Jest to własność ogólna: spośród wszystkich prostokątów o ustalonym polu najmniejszy obwód ma kwadrat

Odpowiedź: Jeżeli pole prostokąta wynosi 36 m2, to jego obwód wynosi co najmniej 24 m.


Zadanie 5


Dany jest trójkąt o bokach 7, 24 i 25. Na najdłuższym boku tego trójkąta zbudowano kwadrat. Oblicz odległość środka kwadratu od najdalszego wierzchołka trójkąta.

Rozwiązanie:


Ponieważ: 72 + 242 = 252, więc trójkąt jest prostokątny na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa.

I przypadek

Zbudowany kwadrat zawiera trójkąt. Wtedy szukana odległość jest równa połowie przekątnej kwadratu o boku 25


Odległość

II przypadek

Zbudowany kwadrat nie zawiera trójkąta. Wtedy szukana odległość jest równa połowie przekątnej kwadratu o boku 24 + 7 = 31




Odległość

Odpowiedź: Najdalej oddalony punkt od środka kwadratu wynosi lub


Zadanie 6


Udowodnij, że kąt zawarty między cięciwą okręgu a styczną poprowadzoną w jej końcu równy jest kątowi wpisanemu opartemu na łuku zawartym w tym kącie wyznaczonym przez tę cięciwę.

Rozwiązanie:


Niech

i


Ponieważ

czyli

a stąd


Odpowiedź:

Dodaj dokument na swoim blogu lub stronie

Powiązany:

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconDrużynowy konkurs matematyczny dla uczniów klas V “ matematyka jest wszędzie”

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconRegulamin dolnośląskiego Konkursu dla uczniów klas IV-VI szkół podstawowych I i-iii gimnazjów

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconBrzechwa dzieciom konkurs czytelniczy dla uczniów klas II-III

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconKonkurs matematyczny dla klas pierwszych lo

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconKonkurs matematyczny dla klas pierwszych lo

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconKonkurs matematyczny dla klas pierwszych lo

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconMIĘdzyszkolny konkurs ekologiczny dla uczniów klas I-III „i ty możesz zostać ekologiem”

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconKonkursu Matematyczny dla uczniów klas pierwszych Technikum Komunikacyjnego

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconKonkurs matematyczny dla uczniów gimnazjum rok szkolny 2009/2010

Vii wrocławski Konkurs Matematyczny dla uczniów klas I-III gimnazjów iconVi gminny konkurs matematyczny „MAŁy pitagoras” Dla uczniów kl. 5 rok szkolny 2009/2010

Umieść przycisk na swojej stronie:
Rozprawki


Baza danych jest chroniona prawami autorskimi ©pldocs.org 2014
stosuje się do zarządzania
Rozprawki
Dom