Logika praktyczna zygmunt Ziembiński




Pobierz 1.47 Mb.
NazwaLogika praktyczna zygmunt Ziembiński
strona23/41
Data konwersji05.09.2012
Rozmiar1.47 Mb.
TypDokumentacja
1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   41
§ 8. Inne prawa rachunku zdań

Spośród innych praw logicznych teorii zdań zasługuje na zapamiętanie prawo eksportacji i importacji:



Wiadomo, że jeśli karabin jest gotowy do strzału i ktoś naciska na spust, to pada strzał. Wnosić więc można, iż jeśli karabin jest gotowy do strzału, to jeżeli ktoś naciska na spust, pada strzał. Prawo to będzie mieć zastosowanie zwłaszcza w takich przypadkach, gdzie dwa warunki konieczne pewnego stanu rzeczy tworzą łącznie warunek wystarczający, co interesować nas będzie przy rozważaniach dotyczących związku przyczynowego.

Do bardziej złożonych praw logicznych należą dylematy, czyli wzory wnioskowania z „założenia dwojakiego” (po grecku: dilémmaton); formułujemy je tu przy użyciu alternatywy nierozłącznej, choć mogą być one formułowane przy użyciu odpowiednio alternatywy rozłącznej w pierwszej części wzoru.

Prawo dylematu konstrukcyjnego głosi:



Np.: Jeżeli Jan nadawał list polecony, to był na poczcie, i jeśli Jan wysyłał przekaz, to był na poczcie, a że nadawał list polecony lub wysyłał przekaz, więc był na poczcie. Prawo dylematu konstrukcyjnego złożonego głosi:



Np.: Jeżeli pójdę do kawiarni, to wypiję kawę, jeżeli pójdę do restauracji, to wypiję herbatę, a wiadomo, że pójdę do kawiarni lub pójdę do restauracji - wnioskować więc można, że wypiję kawę lub herbatę.

Można by podać znacznie więcej praw teorii zdań, lecz ograniczamy się tu do wskazania tych, które mogą mieć znaczenie w codziennej praktyce. Gdyby jednak Czytelnikowi wypadło kiedyś wnioskować wedle ogólnego wzoru, który nie został tu omówiony, to bez większego wysiłku może on sam zbadać, czy wzór, wedle którego wnioskuje, jest, czy nie jest prawem logicznym. Oto przykład.

Mówią nam, że wyrok podlega wykonaniu lub nie jest tak, że wyrok jest prawomocny. Czy można stąd wnioskować, że jeżeli wyrok jest prawomocny, to podlega wykonaniu? Biorąc p = „wyrok jest prawomocny”, oraz q = „wyrok podlega wykonaniu”, stwierdzić możemy, że takie wnioskowanie przebiegałoby wedle schematu:



Aby stwierdzić, czy wzór ten jest prawem logicznym, musimy rozważyć, czy może się stać tak, by w tym wzorze, mającym postać implikacji, poprzednik był zdaniem prawdziwym, a następnik był zdaniem fałszywym. Jeśliby to było możliwe, to omawiany wzór nie jest prawem logicznym, jest zawodnym wzorem wnioskowania. Jeśliby to jednak było niemożliwe, to prawdziwość poprzednika przesądzałaby o prawdziwości następnika i wzór byłby prawem logicznym, niezawodnym wzorem wnioskowania. Dobierzemy więc takie zdania p oraz q, żeby następnik wzoru (jeżeli p, to q) stał się zdaniem fałszywym, i zbadamy, czy przy takich zdaniach p oraz q poprzednik naszego wzoru (q lub nie jest tak, że p) może stać się zdaniem prawdziwym.

Następnik (jeżeli p, to q) będzie wtedy i tylko wtedy zdaniem fałszywym, gdy p będzie zdaniem prawdziwym, a q będzie zdaniem fałszywym. W takim przypadku jednak poprzednik też będzie zdaniem fałszywym. Jeśli bowiem q jest zdaniem fałszywym oraz negacja p jest zdaniem fałszywym (skoro p jest prawdziwe), to alternatywa dwóch zdań fałszywych jest, jak wiadomo, fałszywa. Stąd wniosek, że poprzednik wzoru nie może być prawdziwy przy fałszywości następnika, a więc wzór nasz jest prawem logicznym. W każdym przypadku



Łatwo się przekonać, że można też niezawodnie wnioskować w kierunku odwrotnym - co pozostawiamy samodzielności Czytelnika.

Badanie, czy dana funkcja logiczna o zmiennych zdaniowych jest prawem logicznym, to znaczy czy przy wszelkich podstawieniach zdań na miejsce zmiennych daje zdanie prawdziwe, ująć możemy w zestawienia tabelowe.

Mamy zbadać, jakie wartości logiczne przybiera np. funkcja zdaniowa



Skoro występują tu dwie zmienne zdaniowe: p oraz q, które mogą przybierać dwie wartości logiczne: 1 oraz 0 (wartość prawdy albo wartość fałszu), to rozpatrzyć należy, jakie wartości przybierać będzie badana funkcja w przypadkach, gdy: I) p = 1, q = 1, II) p = 1, q = 0, III p = 0, q = 1, IV) p = 0, q = 0. Uczynimy to w ten sposób, że najpierw (1) ustalimy wartości, jakie przybiera funkcja ~ p, występująca jako składnik wyrażenia zawartego w pierwszym nawiasie; następnie (2) wartości, jakie przybiera cała funkcja zawarta w pierwszym nawiasie; potem (3) wartości, jakie przybiera funkcja zawarta w drugim nawiasie; wreszcie (4) wartości całej badanej funkcji, stanowiącej implikację złożoną z wyrażeń zbadanych jako (2) i (3).



Tabela ta wykazała nam, że badana funkcja przy wszelkich podstawieniach daje zdanie prawdziwe, a więc jest prawem logicznym. Ten sposób sprawdzania staje się niedogodny przy większej liczbie zmiennych, bo np. dla trzech zmiennych wchodzi w grę już osiem różnych możliwości (2×2×2) co do wartości logicznej zdań podstawianych za zmienne.

Zbadajmy np. funkcję



Skoro funkcja ta nie przy wszystkich podstawieniach daje zdanie prawdziwe, to nie jest prawem logicznym i nie może stanowić wzoru wnioskowań niezawodnych.

Ten sposób badania, czy dana funkcja logiczna jest prawem logicznym, zwany metodą matrycową albo metodą zero-jedynkową, nie wymaga jakiejkolwiek pomysłowości. Ma on charakter algorytmu, to znaczy postępowania pozwalającego na rozstrzygnięcie jakiegoś typowego zadania logicznego czy matematycznego według planu przewidzianego z góry określoną stałą instrukcją.


§ 9. System dedukcyjny

W logice formalnej ogół twierdzeń rachunku zdań ujmowany jest w postaci teorii, to znaczy w pewien sposób uporządkowanego zbioru zdań. Jeśli przyjmuje się do takiego zbioru pewne twierdzenia, to zalicza się do niego również i wszelkie następstwa tych zdań. Od należycie zbudowanej teorii wymaga się, aby nie zawierała zdań ze sobą sprzecznych - a więc i takich zdań, które miałyby następstwa wzajemnie sprzeczne.

W logice formalnej teoria przybiera postać systemu dedukcyjnego, to znaczy zbioru zdań składającego się ze zdań wyjściowych przyjętych bez dowodu, zwanych aksjomatami, oraz ze zdań przyjętych jako bezpośrednie czy dalsze konsekwencje tych aksjomatów. Zdania takiego systemu zapisujemy w postaci funkcji logicznych (ze zmiennymi zdaniowymi w przypadku rachunku zdań, a nazwowymi - w przy­padku rachunku nazw), domyślnie przyjmując, że funkcje te przy wszelkich dopuszczalnych podstawieniach za zmienne tworzą zdania prawdziwe.

Najbardziej precyzyjna postać systemu dedukcyjnego to system aksjomatyczny sformalizowany. Zdania takiego systemu zbudowane są z pew­nego zasobu wyrażeń pierwotnych oraz z wyrażeń zdefiniowanych przy użyciu tych wyrażeń pierwotnych. Aksjomaty przyjmowane na początku budowy systemu wyznaczają znaczenie wyrażeń pierwotnych. Ongiś wymagano, aby aksjomaty systemu stanowiły pewniki, zdania oczywiste, jak pewniki w geometrii Euklidesa. Współcześnie jednak za aksjomaty bywają przyjmowane również i zdania bynajmniej nie intuicyjne, jak np. prawo: (p • ~ p) q (czyli: koniunkcja zdań sprzecznych implikuje każde zdanie), co łatwo jest sprawdzić metodą zero-jedynkową. Następnie do systemu wolno przyjmować jedynie twierdzenia wyprowadzone według okreś­lonych reguł dowodowych (a więc w sposób sformalizowany), czy to bezpośrednio z aksjomatów, czy też z twierdzeń poprzednio w ten sposób wyprowadzonych z aksjomatów. W miarę potrzeby wzbogaca się słownik systemu definicjami opartymi na wyrażeniach pierwotnych. Reguły dowodowe przyjmuje się zazwyczaj następujące:

Reguła podstawiania: Jeśli jako aksjomat albo twierdzenie przyjęto do systemu jakąś funkcję, to wolno też przyjąć funkcję, która powstaje z tej pierwszej przez podstawienie w niej na miejsce określonej zmiennej jakiejś dowolnej funkcji sformułowanej w języku danego systemu - byleby podstawienie było konsekwentne, to jest stosowane we wszystkich miejscach, gdzie występuje dana zmienna.

Reguła zastępowania: Jeśli jako aksjomat albo twierdzenie przyjęto do systemu jakąś funkcję, to wolno też przyjąć funkcję, która powstaje z tej pierwszej przez zastąpienie jakiegoś jej fragmentu wyrażeniem (definicyjnie) równoważnym.

Reguła odrywania. Jeśli jako aksjomat albo twierdzenie przyjęto do systemu jakąś funkcję o postaci implikacji i przyjęto też jej poprzednik, to wolno też przyjąć do systemu jej następnik.

Dla przykładu5 przyjmijmy jako dwa aksjomaty systemu:

A01 [(pq) r] [p (q r)]

A02 (p• ~ p) q

oraz definicję: D01 (p q) (~ p q)

W aksjomacie A01 dokonujemy następujących podstawień: zamiast q podstawiam ~ p, a zamiast r podstawiamy q - i otrzymujemy w ten sposób twierdzenie T01:

T01 [(p • ~ p) q] [p (~ p q)]

Jak łatwo zauważyć, poprzednik tego twierdzenia o postaci implikacji jest już przyjęty do systemu jako aksjomat A02. Wobec tego, w myśl reguły odrywania, wolno uznać następnik twierdzenia T01 za twierdzenie systemu. W ten sposób wyprowadzamy twierdzenie T02:

T02 p (~p q)

W myśl reguły zastępowania, implikację zawartą w nawiasie w twierdzeniu T02 możemy zastąpić wyrażeniem równoważnym według definicji D01, otrzymując w ten sposób twierdzenie T03:

T03 p (p q)

Oczywiście aksjomatów systemu nie można przyjmować w dowolny sposób, jak w podanym tu przykładzie, lecz w sposób odpowiednio przemyślany. W szczególności wymaga się tego, żeby aksjomaty były od siebie wzajemnie niezależne (tzn. żeby nie można było wyprowadzić któregoś z nich z pozostałych aksjomatów); żeby dawały układ pełny, tzn. pozwalały na wyprowadzenie, według przyjętych reguł, każdego prawdziwego twierdzenia teorii zdań, i układ niesprzeczny, tzn. by z aksjomatów tych nie można było wyprowadzić dwóch twierdzeń względem siebie sprzecznych.

5 O historii rachunku zdań patrz: Mała encyklopedia logiki, wyd. cyt., ss. 168 -169.

C. PRAWA LOGICZNE ZE ZMIENNYMI NAZWOWYMI

§ 10. Współczesny a tradycyjny rachunek nazw

Czytelnikowi znane są z licealnego kursu matematyki niektóre wyrywkowo wybrane definicje i twierdzenia logiczne dotyczące przynależności jakichś elementów do określonych zbiorów (klas), np.:

Πx: [(x A)(x B)] ≡ x (A i B)]

Πx: [x (A lub B)] ≡ [x (B lub A)]

Πx: [(x (A i B)] [x (A lub B)]


W zapisie tych funkcji użyliśmy odpowiednio słów „i” oraz „lub” na określenie odpowiednich funktorów nazwotwórczych służących do zbudowania nazw złożonych, dla odróżnienia od odpowiednich funktorów prawdziwościowych. „A i B” to oznaczenie iloczynu klas A oraz B, A lub B” to oznaczenie sumy tych klas (por. rozdz. VII § 3 i 4). Współcześnie punktem wyjścia w budowaniu odpowiedniej teorii logicznej są funkcje logiczne odpowiadające strukturze zdania atomicznego, orzeka­jącego o przynależności indywiduum do określonego zbioru (klasy), co pozwala przejść do badania związków logicznych między zdaniami o bardziej złożonej strukturze wewnętrznej.

Natomiast tradycyjny rachunek nazw, historycznie wcześniej zresztą sfor­mułowany niż rachunek zdań, ogranicza się do ustalania związków między wartością logiczną różnych zdań subsumpcyjnych o budowie SaP, SeP, SiP, SoP (por. rozdz. VI § 6). Zdania atomiczne i egzystencjalne sprowadzano w tradycyjnym rachunku w sposób nieraz bardzo sztuczny do struktury zdań subsumpcyjnych. Wadą tradycyjnego rachunku nazw jest to, że we wzorach będących twierdzeniami tej logiki dopuszcza się podstawianie na miejsce zmiennych tylko nazw ogólnych i jednostkowych, a nie jest dopuszczalne podstawianie nazw pustych (a także nazw uniwersalnych)6.

Omówimy w ograniczonym zakresie niektóre twierdzenia tradycyjnego rachunku nazw, znane już od starożytności, a w każdym razie od czasów średniowiecza, kiedy to ustalił się pewien sposób ich wykładania - mianowicie te twierdzenia, które zazwyczaj intuicyjnie wykorzystujemy w potocznych wnioskowaniach, lub te, które mogą okazać się przydatne do sformułowania określonej myśli w dogodnej w danym przypadku formie redakcyjnej.

W zdaniach kwadratu logicznego nazwy generalne występujące odpowiednio jako podmiot albo jako orzecznik zdania subsumpcyjnego nazywano terminami zdania (stąd upowszechniło się użycie słowa „termin” zamiast „nazwa”). Istotną sprawą jest rozważenie, czy można ustalić na podstawie samej struktury danej wypowiedzi to, czy w danym zdaniu albo funkcji zdaniowej z kwadratu logicznego formułuje się informacje dotyczące całości zakresu odpowiedniej nazwy, czy też nie można tego na podstawie samej struktury wypowiedzi ustalić. Jeśli z samej budowy zdania subsumpcyjnego (funkcji zdaniowej) widać, że w zdaniu tym mowa o wszys­tkich desygnatach któregoś z terminów tego zdania, to mówimy, że termin ten jest terminem rozłożonym w danym zdaniu, tzn. jest terminem, o którego całym zakresie zawarta jest informacja w danym zdaniu. W tradycyjnej logice nazw niedopuszczalne jest uznanie za prawo logiczne takiej implikacji, w której następniku występowałoby zdanie informujące ze względu na samą swą budowę o całości zakresu któregoś z występujących w nim terminów, podczas gdy w jej poprzedniku występowałoby zdanie nie zawierające informacji o całości zakresu danego terminu. Ze zdania zawierającego informację dotyczącą niektórych przedmiotów danego rodzaju nie wynika logicznie zdanie informujące o wszystkich, choć ze zdania informującego o wszystkich wynika zdanie informujące o niektórych.

6 Por. Mała encyklopedia logiki, wyd. cyt., s. 90.

W zdaniu ogólno-twierdzącym (o budowie: każde S jest P) rozłożony jest termin stanowiący podmiot (S). O wszystkich S stwierdzamy, że należą do klasy P. Nie mówimy tu jednak czegoś o wszystkich P, termin P nie jest w zdaniu ogólno-twierdzącym rozłożony. Może są inne P oprócz tych, które są zarazem elementami klasy S, a może tylko SP - tego nie wiemy, jeśli nie mamy dodatkowych informacji.

W zdaniu ogólno-przeczącym (o budowie: żadne S nie jest P) mówimy o wszystkich S, że nie znajdziemy ich w całej klasie P, a więc mówimy tu o wszystkich S oraz o wszystkich P, zatem oba terminy zdania są w tym przypadku rozłożone.

W zdaniu szczegółowo-twierdzącym (niektóre SP) stwierdzamy, iż część desygnatów nazwy S stanowi jakąś część desygnatów nazwy P, a więc nie mówi się tu ani o wszystkich S, ani o wszystkich P. Oba terminy są w tym przypadku nierozłożone.

W zdaniu szczegółowo-przeczącym (niektóre S nie są P) termin S jest terminem nierozłożonym; rozłożony jest termin P, mówimy tu o wszystkich desygnatach nazwy P, że nie ma wśród nich niektórych S.

Wypiszemy te cztery rodzaje zdań, podkreślając w nich terminy rozłożone.

zd. ogólno-twierdzące S a P S e P zd. ogólno-przeczące

zd. szczeg.-twierdzące S i P S o P zd. szczeg.-przeczące

Łatwo zapamiętać, że rozłożone są podmioty (S) zdań ogólnych i orzeczniki (P) zdań przeczących. Pojęcie terminu rozłożonego w danym zdaniu kwadratu logicznego stanie się wkrótce niezbędne w naszych rozważaniach.

1   ...   19   20   21   22   23   24   25   26   ...   41

Powiązany:

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconLogika formalna – nauka badająca poprawność rozwiązań. Logika matematyczna

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconGramatyka praktyczna, praktyczna nauka języka angielskiego

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconPraktyczna Nauka Języka Angielskiego, Gramatyka praktyczna 2

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconPraktyczna Nauka Języka Angielskiego, Gramatyka praktyczna 1

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconPraktyczna Nauka Języka Angielskiego, Gramatyka praktyczna 1

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconLogika

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconWstęp logika

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconLogika ogólna

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconLogika wykład VI

Logika praktyczna zygmunt Ziembiński iconLogika matematyczna

Umieść przycisk na swojej stronie:
Rozprawki


Baza danych jest chroniona prawami autorskimi ©pldocs.org 2014
stosuje się do zarządzania
Rozprawki
Dom